原发于果壳 Today I Learned 小组。后面补充的部分来自我在知乎的一个回答。
学过数论的应该都知道勒让德符号。对于一个整数 $a$ 和一个素数 $p$ ，勒让德符号 $\left(\frac{a}{p}\right)$ 定义为：如果 $a \equiv 0 \pmod{p}$，则 $\left(\frac{a}{p}\right) = 0$；否则，如果存在一个整数 $x$ 使得 $x^2 \equiv a \pmod{p}$，则 $\left(\frac{a}{p}\right) = 1$；如果不存在这样的 $x$，则 $\left(\frac{a}{p}\right) = -1$。总之，就是看 $a$ 是不是与某个数的的平方模 $p$ 同余。勒让德符号有很多有趣的性质，在数论里十分有用。
勒让德符号中的 $p$ 只能是素数。雅克比把它推广了一下。对于一个正奇数 $m$，如果它的素因数分解是 $m = p_1 p_2 \cdots p_s$，那么定义雅克比符号 $\left(\frac{n}{m}\right) = \left(\frac{n}{p_1}\right) \left(\frac{n}{p_2}\right) \cdots \left(\frac{n}{p_s}\right)$，其中右边那一串就是勒让德符号。
雅克比符号中的 $m$ 只能是正奇数。于是，克罗内克把它再推广了一下。他首先补上了 $m = -1$ 和 $m = 2$ 的情况。对于 $m = -1$ 的情况，若 $n < 0$，则 $\left(\frac{n}{-1}\right) = -1$；若 $n > 0$，则 $\left(\frac{n}{-1}\right) = 1$；$\left(\frac{0}{-1}\right) = 0$。对于 $m = 2$ 的情况，定义与勒让德符号不同，$n$ 是偶数时，$\left(\frac{n}{2}\right) = 0$；$n \equiv \pm 1 \pmod{8}$ 时，$\left(\frac{n}{2}\right) = 1$；$n \equiv \pm 3 \pmod{8}$ 时，$\left(\frac{n}{2}\right) = -1$。然后，对于一个非 $0$ 的整数 $m$，如果它的素因数分解是 $m = u p_1 p_2 \cdots p_s$，其中 $u$ 是 $\pm 1$，那么定义 $\left(\frac{n}{m}\right) = \left(\frac{n}{u}\right) \left(\frac{n}{p_1}\right) \left(\frac{n}{p_2}\right) \cdots \left(\frac{n}{p_s}\right)$。最后，规定 $\left(\frac{1}{0}\right) = \left(\frac{-1}{0}\right) = 1$，对其它的 $n$ 定义 $\left(\frac{n}{0}\right) = 0$。
这样，对所有整数 $n$、$m$ 我们都定义了一个 $\left(\frac{n}{m}\right)$。这就是克罗内克符号。
上面说了一大堆，都是些数论里的东西，好像与分形没有什么关系……
我们来看数列 $\left(\frac{-1}{n}\right)$，这里的 $n$ 取正整数。根据定义不难看出，这个数列里边的每一项只能是 1 或者 -1。这是在线整数数列百科（OEIS）里的数列 A034947，开头几项是： 1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1 ……
然后，假设你是一只海龟，每次从数列中读取一项；如果是 1，就向左转 90°，向前爬一步；如果是 -1，就向右转 90°，向前爬一步。这样，画出来的图像是什么？
嗯，就是龙曲线。
再放一张彩图：
顺便说一句，我没学过 Logo 语言，这个海龟我是用 Mathematica 画的，参考了 KTurtle 的图标。
为什么这样能画出龙曲线呢？
我们先来看获得龙曲线的另一种方法。拿一根纸带，不断地对折，然后把每一处折痕按原来的凹凸展开成直角：
于是，折痕的凹凸就对应于前面海龟作图的左转右转。那么，折痕的规律是什么呢？
我们把凹记作 1，凸记作 -1。只折一次，得到的当然是：
1
折两次，就会在原来这个 1 的前面和后面各增加一个折痕，前面是 1，后面是 -1（加粗的是原有的折痕）：
1, 1, -1
折三次，会在折两次的基础上，在最前面、最后面和相邻的两个折痕之间，都添上新的折痕。而且新添上的折痕会按 1、-1、1、-1……这样的规律排列。也就是说，相邻的两个新折痕的方向是相反的：
1, 1, -1, 1, 1, -1, -1
类似地，我们可以得到折四次的结果：
1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, -1
这里每一个数列都是后面一个数列的开头。如果我们无限地折下去的话，可以得到一个无限长的数列：
1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, …
于是我们不难得到这个数列的一个递推公式：
- $a(2n) = a(n)$
- $a(4n+1) = 1$
- $a(4n+3) = -1$
这和前面的克罗内克符号是什么关系呢？我们只需要看克罗内克符号的两个性质：
- 由克罗内克符号的定义，有 $\left(\frac{-1}{2}\right) = 1$。因此，$\left(\frac{-1}{2n}\right) = \left(\frac{-1}{2n}\right)$。
- 数论里的一个重要的结论，有些书把它叫做二次互反律的补充律：对于奇素数 $p$，当 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 时，勒让德符号 $\left(\frac{-1}{p}\right) = 1$；当 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 时，勒让德符号 $\left(\frac{-1}{p}\right) = -1$。
于是，$\left(\frac{-1}{n}\right)$ 这个数列也满足同样的递推公式。也就是说，它们是同一个数列。